Préparée sous la direction de Rémi Monasson au Laboratoire de physique théorique de l'École Normale Supérieure (Paris, France)
Soutenue le 26 septembre 2006.
Titre : Application de la mécanique statistique à trois problèmes hors d'équilibre : algorithmes, épidémies, milieux granulaires
Mots-clefs : mécanique statistique, systèmes hors d'équilibre, optimisation combinatoire, processus stochastiques, milieux granulaires, systèmes intégrables
Keywords: statistical mechanics, non-equilibrium systems, combinatorial optimization, stochastic processes, granular media, integrable systems
Résumé :
Cette thèse de doctorat étudie trois problèmes à l'aide des outils de la mécanique statistique. Nous montrons l'existence du phénomène d'universalité critique pour la transition de phases dynamique de certains algorithmes de recherche combinatoire. Nous donnons les valeurs exactes des exposants critiques et une formule analytique pour une fonction d'échelle. Nous développons un formalisme qui nous permet de calculer un développement perturbatif systématique, en grandes dimensions d'espace, de la fonction de grandes déviations de l'état métastable du processus de contact. Il peut resservir entre autres pour d'autres modèles de biologie des populations. Nous introduisons enfin deux modèles bidimensionnels exactement solubles pour la statique des milieux granulaires. Ils reproduisent la transition de jamming et permettent de discuter les différentes échelles de longueurs de ces milieux et de mettre en défaut l'hypothèse d'Edwards dans un cas réaliste.
| Jean-Philippe Bouchaud | Examinateur | Directeur de recherche | S.P.E.C., C.E.A., Saclay |
| David Dean | Rapporteur | Professeur | LPTT, Université Paul Sabatier (Toulouse) |
| Olivier Martin | Examinateur | Professeur | LPTMS, Université Paris-Sud (Orsay) |
| Rémi Monasson | Invité (directeur de thèse) | Chargé de recherche | CNRS, LPTENS, Paris |
| Nicolas Sourlas | Directeur | Directeur de recherche | CNRS, LPTENS, Paris |
| Frédéric van Wijland | Rapporteur | Maître de conférences | Laboratoire MSC, Université Denis Diderot — Paris 7 |
| Jean-Bernard Zuber | Président | Professeur | LPTHE, Université Pierre et Marie Curie — Paris 6 |
| Rapport de présoutenance de M. David DEAN : | PostScript | |
| Rapport de présoutenance de M. Frédéric VAN WIJLAND : |
Rapport de soutenance :
Monsieur Christophe Deroulers a présenté ses travaux
sur l'application de la mécanique statistique à des problèmes qu'on peut
qualifier d'«hors équilibre» : algorithmes et leurs transitions de
phases, propagation épidémique, et milieux granulaires traités par des
méthodes exactes.
Dans sa thèse écrite comme dans sa présentation orale, il a fait montre
de ses qualités remarquables : curiosité et indépendance dans le
choix des sujets abordés, virtuosité technique dans leur résolution et
maîtrise de tous les sujets abordés, depuis l'algorithmique aux
simulations numériques en passant par les systèmes intégrables.
Cela est aussi apparu dans les réponses aux questions du jury, où Ch.
Deroulers a montré beaucoup de maturité et d'autorité.
Cette thèse est considérée par le jury comme extrêmement impressionnante
par sa diversité et ouvrant de nombreuses perspectives. Le jury décerne
donc le titre de Docteur de l'Université Pierre et Marie Curie—Paris
6 à M. Christophe Deroulers avec la mention très honorable.
Résumé de chacune des trois parties :
| 1. La classe d'universalité de la propagation unitaire | 2. La durée de vie de l'état métastable du processus de contact | 3. Deux modèles exactement solubles pour la statique des milieux granulaires |
Après avoir présenté brièvement le domaine de l'analyse d'algorithmes dans lequel le travail de cette première partie peut s'inscrire, nous rappelons des faits connus sur les transitions de phases en combinatoire, puis nous présentons les problèmes de satisfaction de contraintes et d'optimisation combinatoire et quelques algorithmes utilisés pour les résoudre où nous mettons finalement en évidence, dans le cas particulier des algorithmes complets de résolution du problème de décision de la satisfaisabilité aléatoire avec heuristique dite de la propagation unitaire, l'existence d'une classe d'universalité critique. Nous donnons les valeurs exactes de ses exposants critiques et, quand c'est possible, une forme analytique de la fonction d'échelle. |
Nous décrivons dans cette partie un formalisme pour étudier des processus définis uniquement par des règles cinétiques et nous l'appliquons au calcul perturbatif (en grande dimension d'espace) de la fonction de grandes déviations de l'état métastable du processus de contact. Le chapitre 7 discute des exemples de tels processus et introduit le processus de contact. Le chapitre 8 motive puis décrit le formalisme que nous avons introduit ; il est semblable à la théorie de champ moyen dynamique (Dynamic Mean-Field Theory ou DMFT) utilisée en physique des systèmes d'électrons fortement corrélés dans les solides. Enfin le chapitre 9 donne des applications de ce formalisme, principalement au processus de contact. |
Cette partie étudie dans quelle mesure la statique des milieux granulaires peut être modélisée, dans une approche thermodynamique semblable à celle d'Edwards, par des modèles exactement solubles sur réseaux bidimensionnels. Nous donnons d'abord quelques éléments de la physique des milieux granulaires secs et en particulier de leur statique (chapitre 11). Suivent une introduction relativement longue aux modèles exactement solubles (ou intégrables) sur réseaux bidimensionnels (chapitre 12), la construction de deux modèles exactement solubles originaux et la discussion de leurs propriétés accessibles analytiquement (chapitre 13), l'exposition et la discussion du principe des simulations Monte Carlo qui ont servi à étudier d'autres propriétés de ces modèles (chapitre 14), et une discussion des éléments de la statique des milieux granulaires que ces modèles reproduisent (chapitre 15). |